Анвар Бакиров родился 26 февраля 1964 года в Уфе. В 1987 году окончил лечебный факультет Башкирского медицинского института. В1998 году защитил кандидатскую диссертацию на тему «Сравнительная оценка различных методов эзофагопластики при стриктурах пищевода», в 2001 году защитил докторскую диссертацию на тему «Реконструктивно-восстановительное лечение больных с доброкачественными заболеваниями пищевода и желудка».

Медицинскую деятельность начал в 1987 году в РКБ им.Г.Г.Куватова. С 2002 – 2007гг. – главный хирург Министерства здравоохранения Республики Башкортостан. 2011 – 2012гг. — первый заместитель министра здравоохранения Республики Башкортостан. 2012-2014гг. — главный врач ГБУЗ «Республиканский клинический противотуберкулезный диспансер». С 2002 года по настоящее время — профессор кафедры общей хирургии БГМУ. С 29 сентября 2014 года занимал должность министра здравоохранения Республики Башкортостан.